已知函数f(x)=x+1x（I）判断函数的奇偶性，并加以证明；（II）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；（III）函数f（x）在（-1，0）上是单调增函

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

1

x

（I）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（II）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（III）函数f（x）在（-1，0）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

答案

证明：（I）函数为奇函数f(-x)=-x-

1

x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
（II）设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂f(x2)-f(x1)=x2+

1

x2

-x1-

1

x1

=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)
=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∵x₂＞x₁∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁）
因此函数f（x）在（0，1）上是减函数
（III）f（x）在（-1，0）上是减函数．