试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性及最值等数学知识,考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,对求导,利用,解出单调区间,通过单调性判断出最小值所在位置,并且求出即可;第二问,通过第一问的求解可以知道与图像有且仅有一个公共点,猜想所求的直线就是在公共点处的公切线,下面只需对猜想进行证明即可,只需证明当x>0时,,且恒成立即可,进一步转化为证明,即可,通过构造函数,利用导数求最值进行证明. 试题解析:(1) (x>0), 令F′(x)=0,得(舍), ∴当时,F′(x)<0,F(x)在上单调递减; 当时,F′(x)>0,F(x)在上单调递增. ∴当时,F(x)有极小值,也是最小值, 即. ∴F(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,最小值为0.(7分) (2)由(1)知,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点, ∴猜想:一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点处的公切线, 其方程为. 下面证明:当x>0时,,且恒成立. ∵,∴对x>0恒成立. 又令,∴, ∴当时,,G(x)在上单调递减; 当时,G′(x)>0,G(x)在上单调递增. ∴当时,G(x)有极小值,也是最小值, 即,∴G(x)≥0,即恒成立. 故存在一次函数,使得当x>0时,,且恒成立.(14分) |