试题分析:(1)当时,,求其在上的最大值,先要求出其导函数,然后利用导数的符号,判断函数的单调区间,最后就可求出函数的最大值;(2)函数在区间上不单调,而函数在在区间又是不间断的,则区间上有根且无重根,问题就转化为方程有解的问题,分离参数后又转化为函数的值域问题,这是我们所熟悉的问题;(3)根据有两个实根,可得关于的两个等式,从而消去,再将适当放缩后构造函数,通过判断函数的单调性去求函数的最值从而证明不等式. 试题解析:(1) 2分 函数在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数, 所以. 4分 (2)因为,所以, 5分 因为在区间上不单调,所以在(0,3)上有实数解,且无重根, 由,有=,() 6分 又当时,有重根, 7分 综上 8分 (3)∵,又有两个实根, ∴,两式相减,得, ∴, 10分 于是 . 11分 . 要证:,只需证: 只需证:.(*) 12分 令,∴(*)化为 ,只证即可. 13分 ,14分 在(0,1)上单调递增, 15分 ,即.∴. 16分 |