试题分析:(Ⅰ)首先求的导数,利用导数的几何意义列出方程解这个方程即可得的值,从而得函数的解析式,最后利用求闭区间上函数最值的一般步骤求在上的最小值; (Ⅱ)先求的导数:,根据已知在上有两不相等的实数根,将问题转化为一元二次方程在上有两不相等的实数根,最后利用根的判别式及韦达定理列不等式组解决问题;(Ⅲ)由已知不一定是切点,需先设切点根据导数的几何意义,求函数在切点处的导函数值,再分(1)切点不与点重合;(2)切点与点重合,两种情况求曲线的切线方程. 试题解析:(Ⅰ)由已知得解得 1分 故由得 2分 随的变化关系如下表: 3分 于是可得: 4分 (Ⅱ) 5分 由题设可得方程有两个不等的正实根,不妨设这两个根为并令则(也可以),解得 8分 (Ⅲ)由(Ⅰ)故 9分 设切点为由于点在函数的图象上, (1)当切点不与点重合,即当时, 由于切线过点则 化简得即解得(舍去) 12分 (2)当切点与点重合,即当时,则切线的斜率于是切线方程为 13分 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 14分 (注:若没有分“点与点重合”讨论,只要过程合理结论正确,本小题只扣1分) |