已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△

已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△

题型:安徽省月考题难度:来源:
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
答案
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意
∴b=1,
∴所求椭圆方程为
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)当AB⊥x轴时,
(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.由已知,得
把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,

∴|AB|2=(1+k2)(x2﹣x12==
===
当且仅当,即时等号成立.
当k=0时,,|AB|max=2.
∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值
举一反三
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P(4,0),Q是椭圆C上的点,连接PQ交椭圆C于另一点E,求直线PQ的斜率的取值范围.
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椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是 [     ]
A.4a
B.2(a﹣c)
C.2(a+c)
D.以上答案均有可能
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如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
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设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.
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已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;
(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆的长轴长的最大值.


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