已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△

题型：安徽省月考题难度：来源：

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

答案

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=1，
∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）当AB⊥x轴时，．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²﹣3=0，
∴，．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂﹣x₁）²==
===．
当且仅当，即时等号成立．
当k=0时，，|AB|_max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．