已知函数且(Ⅰ)试用含的代数式表示;(Ⅱ)求的单调区间; (Ⅲ)令,设函数在处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于、的公共点;

已知函数且(Ⅰ)试用含的代数式表示;(Ⅱ)求的单调区间; (Ⅲ)令,设函数在处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于、的公共点;

题型:不详难度:来源:
已知函数
(Ⅰ)试用含的代数式表示
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)令,设函数处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于的公共点;
答案
(Ⅰ);(Ⅱ)当时,函数的单调增区间为,单调减区间为;当时,函数的单调增区间为R;当时,函数的单调增区间为,单调减区间为
(Ⅲ)易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线,
内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点
解析

试题分析:解法一:(Ⅰ)依题意,得

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

,则
①当时,
变化时,的变化情况如下表:





+

+

单调递增
单调递减
单调递增
由此得,函数的单调增区间为,单调减区间为
②由时,,此时,恒成立,且仅在,故函数的单调区间为R
③当时,,同理可得函数的单调增区间为,单调减区间为
综上:
时,函数的单调增区间为,单调减区间为
时,函数的单调增区间为R;
时,函数的单调增区间为,单调减区间为
(Ⅲ)当时,得
,得
由(Ⅱ)得的单调增区间为,单调减区间为
所以函数处取得极值。

所以直线的方程为


易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线,
内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二:
(Ⅲ)当时,得,由,得
由(Ⅱ)得的单调增区间为,单调减区间为,所以函数处取得极值,

所以直线的方程为

解得

所以线段与曲线有异于的公共点
点评:本题是在知识的交汇点处命题,将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查,重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识.导数题目是高考的必考题,且常考常新,但是无论如何少不了对基础知识的考查,因此备考中要强化基础题的训练.
举一反三
求函数在区间上的最值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知,若,则的值等于(      )
A.B.C.D.

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若曲线在点处与直线相切,则           
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已知关于x的方程的三个实根分别为一个椭圆,一个抛物线,一个双曲线的离心率,则的取值范围________
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数在区间上恰有一个极值点,则实数的取值范围是                
题型:不详难度:| 查看答案
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