(I)当a=1时,根据建立关于b的方程,求出b值. (II)由(I)得,定义域为,要证, 只须证,然后构造函数, 利用导数研究其最小值,证明最小值大于零即可. (III)本小题属于探索性问题,先假设函数与的图象在其公共点处存在公切线,则满足 ,所以,即,从而求出, 然后再讨论是否大于零来确定假设是否成立. 解:(Ⅰ),, ∴, --------------------------2分 依题意得 ,∴. --------------------------3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,定义域为, 要证,只须证, 设, -------------------4分 则, 令,得, ---------------------------6分 列表得 ∴时,取极小值也是最小值,且, ∴,∴. --------------------8分 (Ⅲ)假设函数与的图象在其公共点处存在公切线, ∵,∴, ∵,,由得,, 即,∴,--------------9分 ∵的定义域为, 当时,,∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线;---10分 当时,令 ,∵,, ∴,即, ----------------11分 下面研究满足此等式的值的个数: (方法一)由得 , 设函数,, 令得,当时,递增; 当时,递减; 所以,,又时,, 时,, 所以,函数的图象与轴有且仅有两个交点,即符合题意的值有且仅有两个. 综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线; 当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线, 且符合题意的值有且仅有两个.-------------------------------14分 (方法二)设,则,且,方程化为, 分别画出和的图象,因为时,, 由函数图象性质可得和图象有且只有两个公共点(且均符合), 所以方程有且只有两个解. 综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线; 当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线, 且符合题意的值有且仅有两个.--------------------------------14分 |