已知函数f(x)=x•ex,g(x)=-x2-2x+m.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)与g(x)的图象恰有两个交点,求实数m的取值范围.
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已知函数f(x)=x•ex,g(x)=-x2-2x+m. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)与g(x)的图象恰有两个交点,求实数m的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)=x•ex, ∴f"(x)=ex+x•ex=ex(1+x) 令f"(x)=0,得x=-1 ∵当x<-1时,f"(x)<0;当x>-1时,f"(x)>0 ∴f(x)在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数. (2)由(1)得[f(x)]min=f(-1)=- ∵二次函数g(x)=-x2-2x+m的图象抛物线 关于x=-1对称且开口向下 ∴函数g(x)在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,+∞)上为减函数 由此可得[g(x)]max=g(-1)=m+1 ∵当f(x)的最小值小于g(x)的最大值时,f(x)与g(x)的图象恰有两个交点, ∴m+1>-,得m>-1-, 由此可得实数m的取值范围是(-1-,+∞). |
举一反三
f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf′(x)-f(x)>0,对任意的正数a、b,若a>b,则必有( )A.af(b)<bf(a) | B.bf(a)<af(b) | C.af(a)<bf(b) | D.bf(b)<af(a) |
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设f(x)=x3-(a+1)x2+3ax+1. (Ⅰ)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,求a的取值范围; (Ⅱ)若函数f(x)在x=a处取得极小值是1,求a的值,并说明在区间(1,4)内函数f(x)的单调性. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值,且在点(1,f(1)处的切线的斜率为2. (Ⅰ)求a,b的值: (Ⅱ)若关于x的方程f(x)+x3-2x2-x+m=0在[,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx (1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间; (2)当a>时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值. |
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