已知函数f(x)=ln(3-x)+ax+1.(1)若函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值.
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已知函数f(x)=ln(3-x)+ax+1. (1)若函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围; (2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值. |
答案
f′(x)=+a (1)只要在x∈[0,2]上f"(x)≥0恒成立,⇔a≥ 而∈[,1],∴a≥1 (5分) (2)∵当x∈[0,2]时,∈[-1,-] ∴①当a≤时,f′(x)≤0,这时f(x)在[0,2]上单调递减, f(x)≤f(0)=1+ln3(7分) ②当<a<1时,令f′(x)=0,可解得x=3-, ∵当x∈[0,3-]时,有f′(x)>0 当x∈[3-,2]时,有f′(x)<0, ∴x=3-是f(x)在[0,2]上的唯一的极大值, 则f(x)≤f(3-)=3a-lna (10分) ③当a≥1时,f"(x)≥0,这时f(x)在[0,2]上单调递增, f(x)≤f(2)=2a+1 (12分) 综上所述:f(x)max=(13分) |
举一反三
已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b. (Ⅰ)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b 关于a的函数关系式,并求b的最大值; (Ⅱ)若b∈[0,2],h(x)=f(x)+g(x)-(2a-b)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围. |
已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f"(x)和g"(x)是f(x),g(x)的导函数,若f"(x)g"(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致 (1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设a<0,且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值. |
(Ⅰ)设函数f(x)=ln(1+x)-,证明:当x>0时,f(x)>0. (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为p,证明:p<()19<. |
设函数f(x)=x2+bln(x+1). (1)若对于定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值; (2)若函数f(x)在定义域是单调函数,求实数b的取值范围; (3)求证:+++…+<ln(n+1).(n∈N*). |
设函数f(x)=x--alnx(a∈R). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性. (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. |
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