设函数f(x)=x-1x-alnx(a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f

设函数f(x)=x-1x-alnx(a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f

题型:湖南难度:来源:
设函数f(x)=x-
1
x
-alnx(a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案
(I)f(x)定义域为(0,+∞),
f′(x)=1+
1
x2
-
a
x
 =
x2-ax +1
x2

令g(x)=x2-ax+1,△=a2-4,
①当-2≤a≤2时,△≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当a<-2时,△>0,g(x)=0的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
③当a>2时,△>0,g(x)=0的两根为x1=
a-


a2-4
2
,x2=
a+


a2-4
2

当0<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x>x2时,f′(x)>0;
故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.
(Ⅱ)由(I)知,a>2.
因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+
x1-x2
x1x2
-a(lnx1-lnx2),
所以k=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=1+
1
x1x2
-a
lnx1-lnx2
x1-x2

又由(I)知,x1x2=1.于是
k=2-a
lnx1-lnx2
x1-x2

若存在a,使得k=2-a,则
lnx1-lnx2
x1-x2
=1,即lnx1-lnx2=x1-x2
亦即x2-
1
x2
-2lnx2=0(x2>1)
   (*)
再由(I)知,函数h(t)=t-
1
t
-2Int
在(0,+∞)上单调递增,
而x2>1,
所以x2-
1
x2
-2Inx2
>1-1-2ln1=0,这与(*)式矛盾,
故不存在a,使得k=2-a.
举一反三
设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与g(
1
x
)
的大小关系;
(Ⅲ)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<
1
a
对任意x>0成立.
题型:陕西难度:| 查看答案
设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
注:e为自然对数的底数.
题型:浙江难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ln(2-x)+a(x-2)(a∈R,e是自然对数的底)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,若方程f(x)-b=0在区间[2-
e
a
,2)
上有两个不同的实根,求证:1-e-lna≤b<-1-lna.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)
在x=1处取得极值2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)设A是曲线y=f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B,试问:是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1∈R的,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+
1
x
-2lnx
(x>0).
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=g(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2,总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)
成立,则称函数y=g(x)为区间D上的“凸函数”.试证当a≥0时,f(x)为“凸函数”.
题型:石景山区一模难度:| 查看答案
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