已知函数f(x)=ln(2-x)+a(x-2)(a∈R,e是自然对数的底)(1)求f(x)的单调区间;(2)当a>0时,若方程f(x)-b=0在区间[2-ea,
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已知函数f(x)=ln(2-x)+a(x-2)(a∈R,e是自然对数的底)(1)求f(x)的单调区间;(2)当a>0时,若方程f(x)-b=0在区间[2-ea,
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ln(2-x)+a(x-2)(a∈R,e是自然对数的底)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,若方程f(x)-b=0在区间
[2-
e
a
,2)
上有两个不同的实根,求证:1-e-lna≤b<-1-lna.
答案
(1)
f′(x)=
1
x-2
+a=
ax-2a+1
x-2
(x<2)
当a≤02时,f"(x)<0,∴f(x)是减函数
当a>06时,
x∈(-∞,2-
1
a
)
,f"(x)>0;
x∈(2-
1
a
,2)
时,f"(x)<0
此时,f(x)的单调增减区间分别为
(-∞,2-
1
a
)
,
(2-
1
a
,2)
(2)∵a>0,由(1)知
f
max
(x)=f(2-
1
a
)=ln
1
a
-1
当
x∈[2-
1
a
,2)
时,f(x)的值域是
(-∞,ln
1
a
-1]
当函数y=f(x)与函数y=b的图象有两个交点时,
得出
f(2-
e
a
)≤b<f(2-
1
a
)
,
即
ln
e
a
-e≤b<ln
1
a
-1
∴1-e-lna≤b<-1-lna.
举一反三
已知函数
f(x)=
mx
x
2
+n
(m,n∈R)
在x=1处取得极值2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)设A是曲线y=f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B,试问:是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设函数g(x)=x
2
-2ax+a,若对于任意x
1
∈R的,总存在x
2
∈[-1,1],使得g(x
2
)≤f(x
1
),求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=a
x
2
+
1
x
-2lnx
(x>0).
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=g(x)对于区间D上的任意两个值x
1
、x
2
,总有不等式
1
2
[g(
x
1
)+g(
x
2
)]≥g(
x
1
+
x
2
2
)
成立,则称函数y=g(x)为区间D上的“凸函数”.试证当a≥0时,f(x)为“凸函数”.
题型:石景山区一模
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1-x
ax
+lnx
.
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求f(x)在
[
1
2
,2]
上的最大值和最小值.
题型:日照模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+
1
2
x
2
+(b-3)x.
(1)当a>0且a≠1,f"(1)=0时,试用含a的式子表示b,并讨论f(x)的单调区间;
(2)若f"(x)有零点,f"(3)≤
1
6
,且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f"(x)≥0.
①求f(x)的表达式;
②当x∈(-3,2)时,求函数y=f(x)的图象与函数y=f"(x)的图象的交点坐标.
题型:江西模拟
难度:
|
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函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数
f′(x)>
1
2
,则不等式f(x)
<
x+1
2
的解集为______.
题型:不详
难度:
|
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