函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>12,则不等式f(x)<x+12 的解集为______.
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函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>12,则不等式f(x)<x+12 的解集为______.
题型:不详
难度:
来源:
函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数
f′(x)>
1
2
,则不等式f(x)
<
x+1
2
的解集为______.
答案
构造函数g(x)=f(x)
-
x+1
2
∴
g′(x)=f′(x)-
1
2
∵f(x)在R上的导函数
f′(x)>
1
2
,
∴g′(x)>0
∴函数g(x)在R上单调增
∵f(1)=1,∴g(1)=0
∴不等式f(x)
<
x+1
2
等价于g(x)<g(1)
∴x<1
∴不等式解集为(-∞,1)
故答案为:(-∞,1).
举一反三
已知曲线f(x)=alnx+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,且x=
2
3
是y=f(x)的极值点,则a-b=______.
题型:不详
难度:
|
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已知:a≠0,f(x)=x
3
+ax
2
-a
2
x-1,g(x)=ax
2
-x-1
(1)若a<0时,求y=f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)与y=g(x)在区间
(a,a+
1
2
)
上是增函数,求a的范围;
(3) 若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,记y=g(x)在区间[0,
1
4
]上的最小值为h(a),求h(a).
题型:不详
难度:
|
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设
f(x)=
e
x
1+a
x
2
,其中a为正实数.
(1)当
a=
4
3
时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为
[
1
2
,
3
2
]
上的单调函数,求a的取值范围.
题型:泉州模拟
难度:
|
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已知函数,f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1 )当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t[1,2],函数
g(x)=
x
3
+
x
2
[
m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)丨上总存在极值?
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=xe
x
,g(x)=ax
2
+x
(I)若f(x)与g(x)具有完全相同的单调区间,求a的值;
(Ⅱ)若当x≥0时恒有f(x)≥g(x),求a的取值范围.
题型:包头三模
难度:
|
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