已知函数,f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1 )当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜
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已知函数,f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1 )当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜
题型:不详
难度:
来源:
已知函数,f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1 )当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t[1,2],函数
g(x)=
x
3
+
x
2
[
m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)丨上总存在极值?
答案
(Ⅰ)
f′(x)=
a(1-x)
x
(x>0)
,
当a=1时,
f′(x)=
1-x
x
,(x>0)
令导数大于0,可解得0<x<1,令导数小于0,可解得x<0(舍)或x>1
故函数的单调增区间为(0,1),单调减区间是(1,+∞)
(Ⅱ)
f′(2)=-
a
2
=1
得a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3
∴
g(x)=
x
3
+(
m
2
+2)
x
2
-2x
,
∴g"(x)=3x
2
+(m+4)x-2
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2
∴
g′(t)<0
g′(3)>0
,
由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
所以有:
g′(1)<0
g′(2)<0
g′(3)>0
,
∴
-
37
3
<m<-9
.
举一反三
设函数f(x)=xe
x
,g(x)=ax
2
+x
(I)若f(x)与g(x)具有完全相同的单调区间,求a的值;
(Ⅱ)若当x≥0时恒有f(x)≥g(x),求a的取值范围.
题型:包头三模
难度:
|
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若函数f(x)在R上可导,且f(x)=x
2
+2f′(2)x+m,(m∈R),则( )
A.f(0)<f(5)
B.f(0)=f(5)
C.f(0)>f(5)
D.无法确定
题型:不详
难度:
|
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f(x)=2
-x
-ln(x
3
+1)实数a,b,c满足f(a)f(b)f(c)<0,且0<a<b<c.若实数x
0
是f(x)的一个零点,则下列不等式中不可能成立的是( )
A.x
0
<a
B.x
0
>b
C.x
0
<c
D.x
0
>c
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=x
2
ln(ax)(a>0).
(1)若曲线y=f(x)在x=
e
a
处的切线斜率为3e,求a的值;
(2)求f(x)在[
1
e
,
e
]上的最小值.
题型:南通模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=2lnx-x
2
(x>0).
(1)求函数f(x)的单调区间与最值;
(2)若方程2xlnx+mx-x
3
=0在区间
[
1
e
,e]
内有两个不相等的实根,求实数m的取值范围; (其中e为自然对数的底数)
(3)如果函数g(x)=f(x)-ax的图象与x轴交于两点A(x
1
,0),B(x
2
,0),且0<x
1
<x
2
,求证:g"(px
1
+qx
2
)<0(其中,g"(x)是g(x)的导函数,正常数p,q满足p+q=1,q>p)
题型:不详
难度:
|
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