(1)∵f′(x)=-2x=,x>0, ∴当0<x<1时,f"(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f"(x)<0,f(x)单调递减. ∴当x=1时,f(x)有极大值,也是最大值,即为-1,但无最小值. 故f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);最大值为-1,但无最小值. (2)方程2xlnx+mx-x3=0化为-m=2lnx-x2,由(1)知,f(x)在区间[,e]上的最大值为-1,f()=-2-,f(e)=2-e2,f(e)<f(). ∴f(x)在区间[,e]上的最小值为-2-. 故-m=2lnx-x2在区间[,e]上有两个不等实根需满足-2-≤-m<-1, ∴1<m≤2+,∴实数m的取值范围为(1,2+]. (3)∵g′(x)=-2x-a,又f(x)-ax=0有两个实根x1,x2, ∴ | 2lnx1-x12-ax1=0 | 2lnx2-x22-ax2=0. |
| | 两式相减,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2) ∴a=-(x1+x2),(x1>0,x2>0) 于是g/(px1+qx2)=-2(px1+qx2)-+(x1+x2) =-+(2p-1)(x2-x1). ∵q>p,∴2q≥1,∵2p≤1,∴(2p-1)(x2-x1)<0. 要证:g′(px1+qx2)<0,只需证:+<0. 只需证:+ln<0.(*) 令=t∈(0,1),∴(*)化为+lnt<0. 只证u(t)=lnt+<0即可.u/(t)=+=-= =,>1,0<t<1, ∴t-1<0.∴u′(t)>0,∴u(t)在(0,1)上单调递增,∴u(t)<u(1)=0 ∴u(t)<0,∴lnt+<0. 即:+ln<0.∴g′(px1+qx2)<0. |