设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
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设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)求导函数,可得f"(x)=a-sinx,x∈[0,π],sinx∈[0,1]; 当a≤0时,f"(x)≤0恒成立,f(x)单调递减;当a≥1 时,f"(x)≥0恒成立,f(x)单调递增; 当0<a<1时,由f"(x)=0得x1=arcsina,x2=π-arcsina 当x∈[0,x1]时,sinx<a,f"(x)>0,f(x)单调递增 当x∈[x1,x2]时,sinx>a,f"(x)<0,f(x)单调递减 当x∈[x2,π]时,sinx<a,f"(x)>0,f(x)单调递增 当x∈[0,arcsina]时,单调递增,当x∈[arcsina,π]时,单调递减; (Ⅱ)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ-1≤1,∴a≤. 令g(x)=sinx-x(0≤x≤),则g′(x)=cosx- 当x∈(0,arccos)时,g′(x)>0,当x∈(arccos,)时,g′(x)<0 ∵g(0)=g()=0,∴g(x)≥0,即x≤sinx(0≤x≤), 当a≤时,有f(x)≤x+cosx ①当0≤x≤时,x≤sinx,cosx≤1,所以f(x)≤1+sinx; ②当≤x≤π时,f(x)≤x+cosx=1+(x-)-sin(x-)≤1+sinx 综上,a≤. |
举一反三
已知函数f(x)=,g(x)=. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)求证:当x>1时,f(x)>g(x); (3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2). |
函数y=x2-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1] | B.(0,1] | C.[1,+∞) | D.(0,+∞) |
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已知函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx. (I)若曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y+1=0垂直,求a的值; (II)讨论函数y=f(x)的单调性; (III)当a=2时,关于x的方程f(x)=m有三个不同的实数根,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=(a+)lnx+-x(a>1). (l)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当a∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f (x2 )),使得曲线y=f(x)在点P,Q处的切线互相平行,求证:x1+x2>. |
已知函数f(x)=(a≠0,a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a=1时,若对任意x1,x2∈[-3,+∞),有f(x1)-f(x2)≤m成立,求实数m的最小值. |
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