(I)由已知可知f(x)的定义域为{x|x>0} f"(x)=x-a-1+(x>0) 根据题意可得,f"(2)=2-a-1+=, ∴a=-1. (II)∵f"(x)=x-a-1+=(x>0) ①当a>1时,由f′(x)>0可得x>a或0<x<1; 由f′(x)<0可得0<x<2a ∴f(x)在(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减 ②当0<a<1时,由f′(x)>0可得x>1或0<x<a; ③当a=1时,在区间(0,+∞)上f′(x)≥0恒成立. ∴当a>1时,f(x)在(0,1),(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减; 当0<a<1时,f(x)在(0,a),(1,+∞)上单调递增,在(a,1)上单调递减; 当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a≤0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. (III)当a=2时,f(x)=x2-3x+2lnx, 由(II)问知,f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减; ∴f(x)的极大值为f(1)=-,f(x)的极小值为f(2)=2ln2-4, 当m∈(2ln2-4,-),函数方程f(x)=m在(0,+∞)上有三个不同的实数根, 因此实数m的取值范围是(2ln2-4,-). |