(1)f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1. ①当a≥1时,f′(x)≥0, 且仅当a=1,x=-1时,f′(x)=0, 所以f(x)是R上的增函数; ②当a<1时,f′(x)=0,有两个根, x1=-1-,x2=-1+, 当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. (2)由题意x1,x2,是方程f′(x)=0的两个根, 故有a<1,x12=-2x1-a,x22=-2x2-a, 因此f(x1)=x13+x12+ax1=x1(-2x1-a) +x12+ax1 =x12+ax1 =(-2x1-a) +ax1=(a-1) x1-a, 同理f(x2)=(a-1)x2-a. 因此直线l的方程为:y=(a-1)x -a. 设l与x轴的交点为(x0,0)得x0=, f(x0)=[]3+[]2+a =(12a2-17a+6), 由题设知,点(x0,0)在曲线y=f(x)上,故f(x0)=0, 解得a=0,或a=或a= |