已知函数f(x)=px-p-lnx(p>0)是增函数.(I)求实数p的取值范围;(II)设数列{an}的通项公式为an=2n+1n,前n项和为S,求证:Sn≥2
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已知函数f(x)=px-p-lnx(p>0)是增函数.(I)求实数p的取值范围;(II)设数列{an}的通项公式为an=2n+1n,前n项和为S,求证:Sn≥2
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
px-p
-lnx(p>0)
是增函数.
(I)求实数p的取值范围;
(II)设数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
2n+1
n
,前n项和为S,求证:S
n
≥2ln(n+1).
答案
(I)由题意,
px-p≥0
x>0
p>0
,∴x≥1,∴函数f(x)的定义域为[1,+∞),
由函数f(x)是增函数,可知
f′(x)=
p
2
x-1
-
1
x
≥0
对x>1恒成立,…(3分)
令
t=
x-1
,t>0
,则
p
≥(
2t
t
2
+1
)
max
,注意到t
2
+1≥2t>0,所以
(
2t
t
2
+1
)
max
=1
,即
p
≥1
,
所以p≥1为所求.…(6分)
(II)证明:由(I)知,
f(x)=
x-1
-lnx
是增函数,
所以f(x)≥f(1)=0,即
x-1
≥lnx
,对x≥1恒成立.…(8分)
注意到
a
n
=
2n+1
n
=
(n+1)
2
n
2
-1
,所以
a
n
≥ln
(n+1)
2
n
2
.…(10分)
∴
S
n
=
a
1
+
a
2
+…+
a
n
≥ln
2
2
1
2
+ln
3
2
2
2
+…+ln
(n+1)
2
n
2
=
ln[
2
2
1
2
•ln
3
2
2
2
•…•ln
(n+1)
2
n
2
=ln(n+1)
2
=2ln(n+1)
即S
n
≥2ln(n+1)成立…(12分)
举一反三
设函数f′(x)=x
2
+3x-4,则y=f(x+1)的单调减区间为( )
A.(-4,1)
B.(-5,0)
C.
(-
3
2
,+∞)
D.
(-
5
2
,+∞)
题型:不详
难度:
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设函数
f(x)=
a
3
x
3
+b
x
2
+cx+d
,(a>0),且函数y=f(x)-9x=0的极值点分别为1、4
(1)当a=-2且y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=lnx+x
2
-2ax+a
2
,a∈R.
(I)若a=0,求函数f(x)在[1,e]上的最小值;
(II)若函数f(x)在[
1
2
,2]上存在单调递增区间,求实数a的取值范围;
(III)求函数f(x)的极值点.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=
x
3
+
1
2
a
x
2
+x+1
(x∈R).
(1)若f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,设g(x)=e
2x
-ae
x
,x∈[0,ln2],求函数g(x)的最小值;
(3)当a=0时,曲线y=f(x)的切线的斜率的取值范围记为集合A,曲线y=f(x)上不同两点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)连线的斜率的取值范围记为集合B,你认为集合A,B之间有怎样的关系,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=ln(x+1)-ax+
1-a
x+1
(
a≥
1
2
).
(Ⅰ)当曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线l:y=-2x+1平行时,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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