(1)因为f"(x)=3x2+ax+1,若△=a2-12<0,即-2<a<2时,都有f"(x)>0,此时函数在R上单调递增. 若△=0,即a=±2时,f"(x)≥0,所以此时函数在R上单调递增. 若△>0,显然不合题意, 综上若函数在R上单调递增,则实数a的取值范围[-2,2]. (2)设t=ex,则t∈[1,2],h(t)=t2-at=(t-)2-, 当-≤≤1,即-2≤a≤2时,h(t)在[1,2]上是增函数,所以当t=1时,h(t)的最小值为h(1)=1-a,也是最小值. 当1<≤,即2<a≤2时,h(t)的最小值为h(2)=12-2a. (3)集合A,B之间的关系为B是A的真子集. 证明如下:当a=0时,f(x)=x3+x+1,f"(x)=3x2+1≥1,故A=[1,+∞). 设PQ的斜率为k,则k==+x1x2++1=(x1+)2++1, 若(x1+)2+=0,当且仅当,即x1=x2=0,这与已知x1≠x2矛盾, 所以(x1+)2+>0,由此可得k>1,所以B=(1,+∞), 即B是A的真子集. |