已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f
题型:宝鸡模拟难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (3)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围. |
答案
(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,解得a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x (2)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4 (3)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上. 设切点为M(x0,y0),切线的斜率为3(-1)=(左边用导数求出,右边用斜率的两点式求出), 整理得2x03-3x02+m+3=0. ∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,故此方程有三个不同解,下研究方程解有三个时参数所满足的条件 设g(x0)=2x03-3x02+m+3,则g′(x0)=6x02-6x0, 由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数g(x0)=2x03-3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1 ∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是,解得-3<m<-2. 故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2. |
举一反三
已知a>0,函数f(x)=+2a(a+1)lnx-(3a+1)x. (1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y-3x=0平行,求a的值; (2)求函数f(x)的单调递增区间; (3)在(1)的条件下,若对任意x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0恒成立,求实数b的取值组成的集合. |
定义函数F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞). (1)令函数f(x)=F[1,log2(x3-3x)]的图象为曲线C1求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C1的切线方程; (2)令函数g(x)=F[1,log2(x3+ax2+bx+1)]的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(x0∈(1,4))处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围; (3)当x,y∈N*,且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x). |
若函数f(x)=ax3+blog2(x+)+2在(-∞,0)上有最小值-5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上 ( )A.有最大值5 | B.有最小值5 | C.有最大值3 | D.有最大值9 |
|
已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是( ) |
若函数f(x)=ax3-3x在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是( ) |
最新试题
热门考点