设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析

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设函数f(x)=

x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4
（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）内无极值，求a的取值范围．

答案

f′（x）=ax²+2bx+c，
由题意可得：1，4 是方程ax²+2bx+c-9=0的两根，
所以b=-

a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-

x³+5x²+x．
（2）依题意：f（x）在（-∞，+∞）上单调，
所以f′（x）ax²+2bx+c≥0恒成立，
则4b²-4ac≤0，即25a²-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范围为（0，4]．

举一反三

设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（I）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（II）若函数f（x）在[

，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（III）求函数f（x）的极值点．

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函数f（x）=x3+

ax2+x+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设g（x）=e^2x-ae^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）当a=0时，曲线y=f（x）的切线的斜率的取值范围记为集合A，曲线y=f（x）上不同两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）连线的斜率的取值范围记为集合B，你认为集合A，B之间有怎样的关系，并证明你的结论．

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已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+

1-a

x+1

（a≥

）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

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已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1时的极值为0．求常数a，b的值并求f（x）的单调区间．

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已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

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