【题文】(本小题满分12分)已知函数()是奇函数.(1)求函数的解析式;(2)求函数的值域.
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【题文】(本小题满分12分)已知函数
(
)是奇函数.
(1)求函数
的解析式;
(2)求函数
的值域.
答案
【答案】(1)
;(2)
.
解析
【解析】
试题分析:(1)因为函数
(
)是奇函数,所以可由
化简得
,进而求得
;因为
在定义域中,函数
是奇函数,所以也可用
求得
,再得
;(2)因为
,所以
是关于
的方程,分
和
两种情况讨论;当
时求出
,因为
在定义域中,所以
在值域中;当
时再用判别式法求
的范围;将上述两种情况合并得值域.判别式法求值域适用于可化为一元二次方程的类型,当二次项系数含参数时,要讨论二次项系数是否为
;若原函数的定义域不是
,要对使判别式为
的
进行检验,有时必需用一元二次方程根的分布求解.
试题解析:∵
是奇函数,∴
, 2分
∴
,即
,∴
; 4分
∴
. 6分
(2)由(1)知
,∴
, 7分
∴当
时,
,∴
; 8分
当
时,
,解得
且
; 10分
综上可知,值域为
. 12分
考点:①利用函数奇偶性求参数;②利用判别式法求值域.
举一反三
【题文】已知
是定义在
上的奇函数,当
时,
,若
,则实数
的取值范围是( )
【题文】已知
是定义在
上的偶函数,当
时,
,则不等式
的解集为( )
【题文】已知函数
是
上的偶函数,且
在
上是减函数,若
,
则
的取值范围是( )
【题文】(本小题满分14分)已知
.
(1)若
,求
,
的值;
(2)若
,判断
的奇偶性;
(3)若函数
在其定义域
上是增函数,
,
,求
的取值范围.
【题文】若函数
为定义在R上的奇函数,且在
内是增函数,又
,则不等式
的解集为
.
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