(Ⅰ)f(1)=1-ln1=1,f′(x)=1-,则f′(1)=0,即切线斜率为0, 故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=0•(x-1),即y=1; (Ⅱ)h(x)=f(x)+g(x)=x-lnx+x+=2x+-lnx,定义域为(0,+∞), ∴h′(x)=2--=, 令h′(1)=0,解得a2=1, 又a>0,∴a=1, 经验证a=1符合条件. (Ⅲ)对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≤g(x2)成立,等价于对任意的x∈[1,e]都有fmax(x)≤gmin(x)成立, 当x∈[1,e]时,f′(x)=1-=≥0,∴f(x)在[1,e]上单调递增,fmax(x)=f(e)=e-1. ∵g′(x)=1-=,x∈[1,e],a>0, ∴(1)若0<a≤1,g′(x)≥0,g(x)=x+在[1,e]上单调递增, ∴gmin(x)=g(1)=1+a2, ∴1+a2≥e-1,解得≤a≤1. (2)若1<a<e, 当1≤x<a时,则g′(x)=<0,当a≤x≤e时,则g′(x)=≥0, ∴g(x)在[1,a)上递减,在[a,e]上递增,gmin(x)=g(a)=2a≥fmax(x)=e-1,解得a≥, 又1<a<e,∴a∈(1,e) (3)当a≥e时,g′(x)=≤0,∴g(x)在[1,e]上递减, gmin(x)=g(e)=e+≥fmax(x)=e-1,∴a2≥-e恒成立. 综上所述a∈[,+∞). |