(1)f′(x)=(x>-3)…(2分) 由f"(1)=0⇒b=-a-1,故f′(x)=0<a<1时 由f"(x)>0得f(x)的单调增区间是(-3,a),(1,+∞) 由f"(x)<0得f(x)单调减区间是(a,1) 同理a>1时,f(x)的单调增区间(-3,1),(a,+∞),单调减区间为(1,a)…(5分) (2)①由(1)及f′(3)≤⇒a≤-3b-8(i) 又由|x|≥2(x>-3)有f"(x)≥0知f"(x)的零点在[-2,2]内,设g(x)=x2+bx+a, 则⇒, 由b2-4a≥0结合(i),解得b=-4,a=4…(8分) ∴f(x)=25ln(x+3)+x2-7x…(9分) ②又设φ(x)=f(x)-f"(x),先求φ(x)与x轴在(-3,2)的交点 ∵φ′(x)=+-1,由-3<x<2得 0<(x+3)2<25 故φ"(x)>0,φ(x)在(-3,2)单调递增 又φ(-2)=16-16=0,故φ(x)与x轴有唯一交点(-2,0) 即f(x)与f"(x)的图象在区间(-3,2)上的唯一交点坐标为(-2,16)为所求 …(13分) |