已知函数f(x)=mxx2+n(m，n∈R)在x=1处取得极值2，（1）求f（x）的解析式；（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂

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已知函数f(x)=mxx2+n(m，n∈R)在x=1处取得极值2，（1）求f（x）的解析式；（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂

题型：不详难度：来源：
已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m，n∈R)在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R的，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围．
答案
（1）
∵f(x)=
mx
x2+n
，
∴f′(x)=
m(x2+n)-mx•2x
(x2+n)2
=
mn-mx2
(x2+n)2
（2分）
又f（x）在x=1处取得极值2
∴





f′(1)=0
f(1)=2
即





m(n-1)
(1+n)2
=0
m
1+n
=2
解得





m=4
n=1
或





m=0
n=-1
(舍去)
∴f(x)=
4x
x2+1
（4分）
（2）由（1）得f′(x)=
4-4x2
(x2+1)2

假设存在满足条件的点A，且A(x0，
4x0
x20
+1
)，则kOA=
4
x20
+1
（5分）
f′(
x0
2
)=
4-4(
x0
2
)2
[(
x0
2
)2+1]2
=
16(4-
x20
)
(
x20
+4)2
，
∴5
x40
=4
x20
，∴
x20
=
4
5
，
x 0
=±
2
5


5
（7分）
所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为(
2


5
5
，
8


5
9
)或(-
2


5
5
，-
8


5
9
)（8分）
（3）f′(x)=
-4(x+1)(x-1)
(x2+1)2
，令f"（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：
举一反三
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x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
f"（x）-0+0-
f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减
已知函数f(x)=ax2+
1
x
-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2，总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值．
已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+
1
2
x2+（b-3）x．
（1）当a＞0且a≠1，f"（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；
（2）若f"（x）有零点，f"（3）≤
1
6
，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f"（x）≥0．
①求f（x）的表达式；
②当x∈（-3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f"（x）的图象的交点坐标．
函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′(x)＞
1
2
，则不等式f（x）＜
x+1
2
 的解集为______．
已知曲线f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，且x=
2
3
是y=f（x）的极值点，则a-b=______．