已知函数f(x)=mxx2+n(m,n∈R)在x=1处取得极值2,(1)求f(x)的解析式;(2)设A是曲线y=f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂

已知函数f(x)=mxx2+n(m,n∈R)在x=1处取得极值2,(1)求f(x)的解析式;(2)设A是曲线y=f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)
在x=1处取得极值2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)设A是曲线y=f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B,试问:是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1∈R的,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
答案
(1)
∵f(x)=
mx
x2+n
∴f′(x)=
m(x2+n)-mx•2x
(x2+n)2
=
mn-mx2
(x2+n)2
(2分)
又f(x)在x=1处取得极值2





f′(1)=0
f(1)=2





m(n-1)
(1+n)2
=0
m
1+n
=2
解得





m=4
n=1





m=0
n=-1
(舍去)
∴f(x)=
4x
x2+1
(4分)
(2)由(1)得f′(x)=
4-4x2
(x2+1)2

假设存在满足条件的点A,且A(x0
4x0
x20
+1
)
,则kOA=
4
x20
+1
(5分)
f′(
x0
2
)=
4-4(
x0
2
)
2
[(
x0
2
)
2
+1]
2
=
16(4-
x20
)
(
x20
+4)
2

5
x40
=4
x20
,∴
x20
=
4
5
x 0
2
5


5
(7分)
所以存在满足条件的点A,此时点A是坐标为(
2


5
5
8


5
9
)
(-
2


5
5
,-
8


5
9
)
(8分)
(3)f′(x)=
-4(x+1)(x-1)
(x2+1)2
,令f"(x)=0,得x=-1或x=1
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
举一反三
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x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)
f"(x)-0+0-
f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减
已知函数f(x)=ax2+
1
x
-2lnx
(x>0).
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=g(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2,总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)
成立,则称函数y=g(x)为区间D上的“凸函数”.试证当a≥0时,f(x)为“凸函数”.
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx

(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2]
上的最大值和最小值.
已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+
1
2
x2
+(b-3)x.
(1)当a>0且a≠1,f"(1)=0时,试用含a的式子表示b,并讨论f(x)的单调区间;
(2)若f"(x)有零点,f"(3)≤
1
6
,且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f"(x)≥0.
①求f(x)的表达式;
②当x∈(-3,2)时,求函数y=f(x)的图象与函数y=f"(x)的图象的交点坐标.
函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>
1
2
,则不等式f(x)
x+1
2
 的解集为______.
已知曲线f(x)=alnx+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,且x=
2
3
是y=f(x)的极值点,则a-b=______.