已知函数f(x)=1-xax+lnx.(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,求f(x)在[12,2]上的最大值和

已知函数f(x)=1-xax+lnx.(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,求f(x)在[12,2]上的最大值和

题型:日照模拟难度:来源:
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx

(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2]
上的最大值和最小值.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=
1-x
ax
+lnx,
∴f"(x)=
ax-1
ax2
   (a>0)
∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数
∴f"(x)=
ax-1
ax2
≥0对 x∈[1,+∞)恒成立 
∴ax-1≥0 在x∈[1,+∞)上恒成立 
∴a≥
1
x
,对x∈[1,+∞)恒成立 
∴a≥1.
(Ⅱ)当a=1时,f"(x)=
x-1
x2

当x∈[
1
2
,1)时,f"(x)<0,故f(x)在x∈[
1
2
,1)上单调递减;
当x∈[1,2]时,f"(x)>0,f(x)在x∈[1,2]上单调递增.
∴f(x)在x∈[
1
2
,2]上有唯一极小值点,
故f(x)min=f(x)极小值=f(1)=0
∵f(
1
2
)=1-ln2,f(2)=-
1
2
+ln2,f(
1
2
)-f(2)=
3
2
-2ln2=
lne3-ln16
2

∵e3>16,∴f(
1
2
)-f(2)>0⇒f(
1
2
)>f(2).(10分)
∴f(x)在区间[
1
2
,2]上的最大值f(x)=f(
1
2
)=1-ln2.
综上可知,函数f(x)在[
1
2
,2]
上的最大值是1-ln2,最小值是0.
举一反三
已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+
1
2
x2
+(b-3)x.
(1)当a>0且a≠1,f"(1)=0时,试用含a的式子表示b,并讨论f(x)的单调区间;
(2)若f"(x)有零点,f"(3)≤
1
6
,且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f"(x)≥0.
①求f(x)的表达式;
②当x∈(-3,2)时,求函数y=f(x)的图象与函数y=f"(x)的图象的交点坐标.
题型:江西模拟难度:| 查看答案
函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>
1
2
,则不等式f(x)
x+1
2
 的解集为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线f(x)=alnx+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,且x=
2
3
是y=f(x)的极值点,则a-b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知:a≠0,f(x)=x3+ax2-a2x-1,g(x)=ax2-x-1
(1)若a<0时,求y=f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)与y=g(x)在区间(a,a+
1
2
)
上是增函数,求a的范围;
(3) 若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,记y=g(x)在区间[0,
1
4
]上的最小值为h(a),求h(a).
题型:不详难度:| 查看答案
f(x)=
ex
1+ax2
,其中a为正实数.
(1)当a=
4
3
时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为[
1
2
, 
3
2
]
上的单调函数,求a的取值范围.
题型:泉州模拟难度:| 查看答案
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