已知函数f(x)=lnx2-2axe,(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(x)的递增区间;(Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(
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已知函数f(x)=lnx2-2axe,(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(x)的递增区间;(Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(
题型:河南模拟
难度:
来源:
已知函数f(x)=lnx
2
-
2ax
e
,(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的递增区间;
(Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(x)的两条切线,设两切点为P1(x
1
,f(x
1
)),P
2
(x
2
,f(x
2
))(x
1
≠x
2
),求证:x
1
+x
2
=0.
答案
(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
f′(x)=
2
x
-
2a
e
=
2(e-ax)
ex
.
当a=0时,由f′(x)=
2
x
>0,解得x>0;
当a>0时,由f′(x)=
2(e-ax)
ex
>0,解得0<x<
e
a
;
当a<0时,由f′(x)=
2(e-ax)
ex
>0,解得x>0,或x<
e
a
.
所以当a=0时,函数f(x)的递增区间是(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的递增区间是(0,
e
a
);
当a<0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,
e
a
)∪(0,+∞).
(Ⅱ)因为f′(x)=
2
x
-
2
e
=
2(e-x)
ex
,
所以以p
1
(x
1
,f(x
1
))为切点的切线的斜率为
2(e-
x
1
)
e
x
1
;
以p
2
(x
2
,f(x
2
))为切点的切线的斜率为
2(e-
x
2
)
e
x
2
.
又因为切线过点p(0,t),
所以
t-ln
x
1
2
+
2
x
1
e
=
2(e-
x
1
)
e
x
1
(0-
x
1
)
;
t-ln
x
2
2
+
2
x
2
e
=
2(e-
x
2
)
e
x
2
(0-
x
2
)
.
解得,x
1
2
=e
t+2
,x
2
2
=e
t+2
.则x
1
2
=x
2
2
.
由已知x
1
≠x
2
所以,x
1
+x
2
=0.
举一反三
设f(x)=x
3
-3x
2
+5
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若x∈[1,3],求f(x)的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-ax
2
+3x,a∈R,
(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,5]上的最大值;(2)若函数f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
lnx
x
.
(I)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若y=xf(x)+
1
x
的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)与
g(x)=
1
6
x-
m
x
+
2
3
的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数m的值.
题型:宣武区二模
难度:
|
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设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x
3
+ax与g(x)=bx
2
+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.
题型:湖南
难度:
|
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若函数f(x)=lnx,g(x)=x-
2
x
.
(1)求函数φ(x)=g(x)-kf(x)(k>0)的单调区间;
(2)若对所有的x∈[e,+∞],都有xf(x)≥ax-a成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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