已知函数f(x)=x3-ax2+3x,a∈R,(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,5]上的最大值;(2)若函数f(x)是R上的单调递增函数,
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已知函数f(x)=x3-ax2+3x,a∈R, (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,5]上的最大值;(2)若函数f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由题意知f"(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,从而f′(3)=0,解得a=5,所以f"(x)=3x2-10x+3=0的另一个根为x=,函数在(1,3)上为减函数,(3,5)上为增函数,从而可知当x=5时,f(x)在x∈[1,5]上的最大值 是15 (2)函数f(x)是R上的单调递增函数转化为3x2-2ax+3≥0在R内恒成立, 从而有f"(x)=3x2-10x+3=0的△≤0,解得a∈[-3,3]. |
举一反三
已知函数f(x)=. (I)判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若y=xf(x)+的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围; (Ⅲ)若函数f(x)与g(x)=x-+的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数m的值. |
设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线. (Ⅰ)用t表示a,b,c; (Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围. |
若函数f(x)=lnx,g(x)=x-. (1)求函数φ(x)=g(x)-kf(x)(k>0)的单调区间; (2)若对所有的x∈[e,+∞],都有xf(x)≥ax-a成立,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=x-(2x-1)的单调递减区间为 ______ |
设函数f(x)=x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称,且f(x)的图象在点p(1,m)处的切线的斜率为-6,且当x=2时,f(x)有极值. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x1,x2∈[-1,1]时,求证|f(x1)-f(x2)|≤. |
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