设函数f(x)=a3x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．（1）求a，

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)=

a

3

x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证|f(x1)-f(x2)|≤

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3

．

答案

（1）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）
∴-

a

3

x3+bx2-4cx+d=-

a

3

x3-bx2-4cx-d，∴b=0，d=0．
∴f(x)=

a

3

x3+4cx，∴f"（x）=ax²+4c．
∴

f′(1)=a+4c=-6 f′(2)=4a+4c=0

，即

a+4c=-6 4a+4c=0

．∴a=2，c=-2．
（2）f(x)=

2

3

x3-8x，f/(x)=2x2-8，当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上为减函数，若x₁，x₂∈[-1，1]时，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(-1)-f(1)|=

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3

．