已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9.又f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,
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已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9.又f′(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=f(x)的切线;如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范围. |
答案
(1)f′(x)=3ax2+6x-6a, 因为f′(-1)=0所以a=-2.2; (2)因为直线m恒过点(0,9). 先求直线m是y=f(x)的切线. 设切点为(x0,3x02+6x0+12), ∵g′(x0)=6x0+6. ∴切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将点(0,9)代入得x0=±1. 当x0=-1时,切线方程为y=9, 当x0=1时,切线方程为y=12x+9. 由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1,x=2 当x=-1时,y=f(x)的切线y=-18,当x=2时, y=f(x)的切线方程为y=9∴y=9是公切线, 又由f′(x)=12得-6x2+6x+12=12 ∴x=0或x=1,当x=0时y=f(x)的切线为y=12x-11, 当x=1时y=f(x)的切线为y=12x-10, ∴y=12x+9,不是公切线, 综上所述k=0时y=9是两曲线的公切线;(7分) (3).(1)kx+9≤g(x)得kx≤3x2+6x+3, 当x=0,不等式恒成立,k∈R. 当-2≤x<0时,不等式为k≥3(x+)+6, 而3(x+)+6=-3[(-x)+]+6≤-3•2+6=0∴k≥0 当x>0时,不等式为k≤3(x+)+6, ∵3(x+)+6≥12∴k≤12∴当x≥-2时, kx+9≤g(x)恒成立,则0≤k≤12;(10分) (2)由f(x)≤kx+9得kx+9≥-2x3+3x2+12x-11 当x=0时,9≥-11恒成立,k∈R, 当-2≤x<0时有k≤-2x2+3x+12- 设h(x)=-2x2+3x+12-=-2(x-)2+-, 当-2≤x<0时-2(x-)2+为增函数, -也为增函数∴h(x)≥h(-2)=8 ∴要使f(x)≤kx+9在-2≤x<0上恒成立,则k≤8(12分) 由上述过程只要考虑0≤k≤8, 则当x>0时f′(x)=-6x2+16x+12=-6(x+1)(x-2) ∴在x∈(0,2]时f′(x)>0,在(2,+∞)时 ∴f(x)在x=2时有极大值即f(x)在(0,+∞)上的最大值, 又f(2)=9,即f(x)≤9而当x>0,k≥0时, ∴f(x)≤kx+9一定成立,综上所述0≤k≤8. |
举一反三
已知函数f(x)=(x2+mx+m)ex. (1)若m=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若m<2,且函数f(x)的极大值为10e-2,求m的值. |
设函数f(x)=xekx(k≠0). (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. |
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值. |
已知函数f(x)=ln(x+1)- (1)求f(x)的单调区间; (2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (3)求证:对任意的正数a与b,恒有lna-lnb≥1-. |
已知函数f(x)=px--2lnx. (I)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
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