已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的
题型:菏泽二模难度:来源:
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值. |
答案
(Ⅰ)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞),f′(x)=>0, 故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数. (Ⅱ)f′(x)=(x>0),当x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2]. 若a≥-2,f"(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f"(x)=0), 故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. 若-2e2<a<-2,当x=时,f"(x)=0;当1≤x<时,f"(x)<0, 此时f(x)是减函数;当<x≤e时,f"(x)>0,此时f(x)是增函数. 故[f(x)]min=f()=ln(-)- 若a≤-2e2,f"(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f"(x)=0), 故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2. 综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1; 当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为ln(-)-,相应的x值为; 当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e |
举一反三
已知函数f(x)=ln(x+1)- (1)求f(x)的单调区间; (2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (3)求证:对任意的正数a与b,恒有lna-lnb≥1-. |
已知函数f(x)=px--2lnx. (I)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
已知函数y=x3-ax+6的一个单调增区间为(1,+∞),求a的值及函数的其他单调区间. |
若函数f(x)=x3-ax2+2的一个极值点是2,则a=______,此函数在区间[-1,1]上的最大值是______. |
已知函数f(x)=(c>0且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c. (Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点; (Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围. |
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