已知函数f(x)=kx+1x2+c（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c．（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；（Ⅱ）求函数

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已知函数f(x)=

kx+1

x2+c

（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c．
（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

k(x2+c)-2x(kx+1)

(x2+c)2

=

-kx2-2x+ck

(x2+c)2

，
由题意知f"（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f"（x）=0得-kx²-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x=c-

2

k

）．
（Ⅱ）由（*）式得k=

2

c-1

，即c=1+

2

k

．
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴M=f(1)=

k+1

c+1

=

k

2

＞0，m=f(-c)=

-kc+1

c2+c

=

-k2

2(k+2)

＜0，
由M-m=

k

2

+

k2

2(k+2)

≥1及k＞0，解得k≥

2

．
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴M=f(-c)=

-k2

2(k+2)

＞0，m=f(1)=

k

2

＜0M-m=

-k2

2(k+2)

-

k

2

=1-

(k+1)2+1

k+2

≥1恒成立．
综上可知，所求k的取值范围为(-∞，-2)∪[

2

，+∞)．