设函数f(x)=xekx(k≠0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,
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设函数f(x)=xekx(k≠0). (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x; (Ⅱ)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0), 若k>0,则当x∈(-∞,-)时, f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈(-,+∞,)时,f′(x)>0, 函数f(x)单调递增, 若k<0,则当x∈(-∞,-)时, f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈(-,+∞,)时, f′(x)<0,函数f(x)单调递减; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当-≤-1, 即k≤1时,函数f(x)(-1,1)内单调递增, 若k<0,则当且仅当-≥1, 即k≥-1时,函数f(x)(-1,1)内单调递增, 综上可知,函数f(x)(-1,1)内单调递增时, k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. |
举一反三
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值. |
已知函数f(x)=ln(x+1)- (1)求f(x)的单调区间; (2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (3)求证:对任意的正数a与b,恒有lna-lnb≥1-. |
已知函数f(x)=px--2lnx. (I)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
已知函数y=x3-ax+6的一个单调增区间为(1,+∞),求a的值及函数的其他单调区间. |
若函数f(x)=x3-ax2+2的一个极值点是2,则a=______,此函数在区间[-1,1]上的最大值是______. |
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