设f(x)=x3-kx(k>0).(1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上
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设f(x)=x3-kx(k>0). (1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数, (Ⅰ)求证:0<k≤3;(Ⅱ)设x0≥1,f(x0)≥1,且满足f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0. |
答案
(1)由f(x)=x3-kx(k>0),得到f′(x)=3x2-k(k>0), ∵f′(2)=0,∴f′(2)=3×22-k=0,即k=12 则f(x)=x3-12x,f(2)=23-12×2=-16, 故f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y+16=0. (2)证明:(Ⅰ)∵f′(x)=3x2-k(k>0) 又函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数, 则①若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是增函数,则在[1,+∞)上f′(x)≥0恒成立, 即在[1,+∞)上恒有3x2≥k,故k≤3,又由k>0,∴0<k≤3; ②若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是减函数,则在[1,+∞)上f′(x)≤0恒成立, 即在[1,+∞)上恒有3x2≤k,故k不存在; 综上,0<k≤3. (Ⅱ)设f(x0)=m,则由f(f(x0))=x0 得到f(m)=x0,又f(x)=x3-kx(k>0) ∴两式相减得到(x03-m3)-k(x0-m)=m-x0 即(x0-m)(x02+m2+x0m+1-k)=0 ∵x0≥1,f(x0)≥1即m≥1, ∴x02+m2+x0m+1-k≥4-k,而0<k≤3, ∴x02+m2+x0m+1-k≥1>0,从而只有x0-m=0,即m=x0, ∴f(x0)=x0. |
举一反三
已知函数f(x)=x2+(a2+a)lnx-2ax,a∈R. (Ⅰ)当a=-时,求函数f(x)的极值点; (Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单调区间上也是单调的,求a的取值范围; (Ⅲ) 当0<a<时,设g(x)=f(x)-(a2+a+1)lnx-(a+)x2+(2a+1)x,且x1,x2是函数g(x)的极值点,证明:g(x1)+g(x2)>3-2ln2. |
函数y=4x2-mx+5在区间[2,+∝)上是增函数,在区间(-∞,2]上是减函数,则m的值为______. |
函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是______ |
已知函数f(x)=2x+-1,x∈[0,+∞) (1)证明:函数在[0,]上为单调减函数,在[,+∞)上为单调增函数; (2) 若x∈[0,a],求f(x)的最大最小值. |
已知函数f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最小值; (Ⅱ)当b>0时,求证:bb≥()(其中e=2.718 28…是自然对数的底数); (Ⅲ)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b). |
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