已知函数f(x)=12x2+(34a2+12a)lnx-2ax,a∈R.(Ⅰ)当a=-12时,求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单

已知函数f(x)=12x2+(34a2+12a)lnx-2ax,a∈R.(Ⅰ)当a=-12时,求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单

题型:铁岭模拟难度:来源:
已知函数f(x)=
1
2
x
2
+(
3
4
a
2
+
1
2
a)lnx-2ax
,a∈R.
(Ⅰ)当a=-
1
2
时,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单调区间上也是单调的,求a的取值范围;
(Ⅲ) 当0<a<
1
8
时,设g(x)=f(x)-(
3
4
a
2
+
1
2
a+1
)lnx-(a+
1
2
)x2+(2a+1)x,且x1,x2是函数g(x)的极值点,证明:g(x1)+g(x2)>3-2ln2.
答案
(Ⅰ)f(x)=
1
2
x2-
1
16
lnx+x  (x>0),f′(x)=x-
1
16x
+1=0,
∴x1=
-2+


5
4
,x2=
-2-


5
4
(不在定义域内,舍)
∴(0,
-2+


5
4
]单调减,[
-2+


5
4
,+∞)单调增,
∴f(x)在x=
-2+


5
4
时取极小值,且是唯一极值.
(Ⅱ)f′(x)=
x2-2ax+
3
4
a
2
+
1
2
a
x
(x>0)
令g(x)=x2-2ax+a2+a,△=4a2-3a2-2a=a2-2a,
设g(x)=0的两根x1,x2(x1<x2
10 当△≤0时,即0≤a≤2,f′(x)≥0,
∴f(x)单调递增,满足题意;
20 当△>0时  即a<0或a>2时,
(1)若x1<0<x2,则 a2+a<0,
即-<a<0时,f(x)在(0,x2)上减,(x2,+∞)上增,
f′(x)=x+-2a,f""(x)=1-≥0,
∴f′(x) 在(0,+∞)单调增,不合题意
(2)若x1<x2<0 则





3
4
a
2
+
1
2
a≥0
a<0

即a≤-时f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意.
(3)若0<x1<x2





3
4
a
2
+
1
2
a>0
a>0

即a>2时,∴f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,
不合题意.综上得a≤-或0≤a≤2.
(Ⅲ) g(x)=-lnx-ax2+x,g′(x)=-
1
x
-2ax+1=-
2ax2-x+1
x

令g′(x)=0,即2ax2-x+1=0,
当0<a<时,△=1-8a>0,
所以,方程2ax2-x+1=0的两个不相等的正根x1,x2,设x1<x2
则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,g′(x)<0,
当x∈(x1,x2)时,g′(x)>0,
所以g(x)有极小值点x1和极大值点x2,且x1+x2=
1
2a
,x1x2=
1
2a

g(x1)+g(x2)=-lnx1-ax+x1-lnx2-ax+x2
=-(lnx1+lnx2)-(x1-1)-(x2-1)+(x1+x2
=-ln(x1x2)+(x1+x2)+1
=ln(2a)+…+1.
令h(a)=ln(2a)++1,a∈(0,],
则当a∈(0,)时,h′(a)=-=<0,h(a)在(0,)单调递减,
所以h(a)>h(
1
8
)=3-2ln2,
即g(x1)+g(x2)>3-2ln2.
举一反三
函数y=4x2-mx+5在区间[2,+∝)上是增函数,在区间(-∞,2]上是减函数,则m的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是______
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2x+
2
2x
-1
,x∈[0,+∞)
(1)证明:函数在[0,
1
2
]
上为单调减函数,在[
1
2
,+∞)
上为单调增函数;
(2) 若x∈[0,a],求f(x)的最大最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)当b>0时,求证:bb≥(
1
e
)
1
e
(其中e=2.718 28…是自然对数的底数);
(Ⅲ)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
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