已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间． |
答案
（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，f′（x）=2x-3+．
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程为 y=-2．
（2）函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+=（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）===0，
所以x=或x=．
①a＞2时，令f′（x）＞0，可得x＞或0＜x＜；令f′（x）＜0，可得＜x＜；
②a=2时，f′（x）≥0恒成立；
③0＜a＜2时，令f′（x）＞0，可得x＞或0＜x＜；令f′（x）＜0，可得＜x＜；
④a≤0时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜；令f′（x）＜0，可得x＞；
∴a＞2时，函数的单调增区间是（0，），（0，）；单调减区间为（，）；a=2时，f（x）在（0，+∞上单调递增；0＜a＜2时，函数的单调增区间是（，+∞），（0，）；单调减区间是（，）；a≤0时，函数的单调增区间是（0，）；单调减区间是（，+∞）． |
举一反三
设函数f（x）=ax3+bx2-3a2x+1（a，b∈R）在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1-x2|=2．
（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范围． |
| 讨论函数f（x）=ln（2x+3）+x2的单调性． |
已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q（x0，y0），且x1＜x0＜x2，使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2，则称l为弦P1P2的伴随切线．当a=2时，已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的伴随切线l的方程；
（Ⅲ）设g(x)= (a＞0)，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围． |
若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x2+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；
（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”，求实数b的范围．
（3）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”，求实数b的范围． |
已知函数f(x)=x3-x．
（1）若不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整数k；
（2）令函数g(x)=f(x)-ax2+x(a≥2)，求曲线y=g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值． |
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