设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f"(x)满足f"(1)=2a,f"(2)=-b,其中常数a,b∈R.(I)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切
题型:重庆难度:来源:
设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f"(x)满足f"(1)=2a,f"(2)=-b,其中常数a,b∈R. (I)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (II)设g(x)=f′(x)e-x.求函数g(x)的极值. |
答案
(I)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f"(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f"(1)=3+2a+b=2a,解得b=-3 令x=2,得f"(2)=12+4a+b=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-,因此f(x)=x3-x2-3x+1 ∴f(1)=-, 又∵f"(1)=2×(-)=-3, 故曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-)=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
(II)由(I)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x 从而有g"(x)=(-3x2+9x)e-x 令g"(x)=0,则x=0或x=3 ∵当x∈(-∞,0)时,g"(x)<0, 当x∈(0,3)时,g"(x)>0, 当x∈(3,+∞)时,g"(x)<0, ∴g(x)=(3x2-3x-3)e-x在x=0时取极小值g(0)=-3,在x=3时取极大值g(3)=15e-3 |
举一反三
已知函数f(x)=x3-3x.过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程. |
给定函数f(x)=-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+ (I)求证:f(x)总有两个极值点; (II)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值. |
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数y=f(x)解析式. |
设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,)的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程; (2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且|AB|=2,求k的值; (3)设点P的轨迹曲线为C,点Q(x0,y0)(x0≤1)是曲线C上的一点,求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围. |
最新试题
热门考点