设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(
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设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(
题型:不详
难度:
来源:
设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点
M(0,
1
2
)
的距离比点P到x轴的距离大
1
2
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且
|AB|=2
6
,求k的值;
(3)设点P的轨迹曲线为C,点Q(x
0
,y
0
)(x
0
≤1)是曲线C上的一点,求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围.
答案
(1)过P作x轴垂线且垂足为N,由题意可知
|PM|-|PN|=
1
2
而y≥0,∴|PN|=y,∴
x
2
+
(y-
1
2
)
2
=y+
1
2
化简得x
2
=2y(y≥0)为所求的方程.
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
联立
y=kx+1
x
2
=2y
,
得x
2
-2kx-2=0,
∴x
1
+x
2
=2k,
x
1
x
2
=-2
|AB|=
1+
k
2
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
1+
k
2
4
k
2
+8
=2
6
,
∴k
4
+3k
2
-4=0,
而k
2
≥0,
∴k
2
=1,
∴k=±1.
(3)因为Q(x
0
,y
0
)在曲线C上,
∴x
0
2
=2y
0
,
∴切点
Q(
x
0
,
1
2
x
20
)
.
又
y=
1
2
x
2
求导得y"=x,
∴切线斜率k=x
0
则切线方程为
y-
1
2
x
20
=
x
0
(x-
x
0
)
,
即2x
0
x-2y-x
0
2
=0为所求切线方程,
又x
0
≤1,
∴切线斜率k≤1,
∴倾斜角取值范围为
[0,
π
4
]∪(
π
2
,π)
.
举一反三
若
f(x)=
e
-
x
2
,则
lim
t→0
f(1-2t)-f(1)
t
=______.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=x
3
+3x
2
+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程是______.
题型:不详
难度:
|
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若曲线y=x
2
+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a
b
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线f(x)=2x-
1
x
+1上一点P处的切线与x+3y-2=0垂直,求过P的切线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知函数y=f(x)=x
3
+px
2
+qx的图象与x轴切于非原点的一点,那么p、q的关系为______.
题型:不详
难度:
|
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