给定函数f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x(I)求证:f(x)总有两个极值点;(II)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.

给定函数f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x(I)求证:f(x)总有两个极值点;(II)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.

题型:不详难度:来源:
给定函数f(x)=
x3
3
-ax2+(a2-1)x
g(x)=x+
a2
x

(I)求证:f(x)总有两个极值点;
(II)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.
答案
证明:(I)因为f"(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a+1)][x-(a-1)],
令f"(x)=0,则x1=a+1,x2=a-1,------------------------------------------(2分)
则当x<a-1时,f"(x)>0,当a-1<x<a+1,f"(x)<0
所以x=a-1为f(x)的一个极大值点,-----------------------(4分)
同理可证x=a+1为f(x)的一个极小值点.-------------------------------------(5分)
另(I)因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)是一个二次函数,
且△=(-2a)2-4(a2-1)=4>0,-------------------------------------(2分)
所以导函数有两个不同的零点,
又因为导函数是一个二次函数,
所以函数f(x)有两个不同的极值点.---------------------------------------(5分)
(II) 因为g′(x)=1-
a2
x2
=
(x-a)(x+a)
x2

令g"(x)=0,则x1=a,x2=-a---------------------------------------(6分)
因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且x1=a和a+1,a-1不可能相等,
所以当-a=a+1时,a=-
1
2
,当-a=a-1时,a=
1
2

经检验,a=-
1
2
a=
1
2
时,x1=a,x2=-a都是g(x)的极值点.--------------(8分)
举一反三
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数y=f(x)解析式.
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设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,
1
2
)
的距离比点P到x轴的距离大
1
2

(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且|AB|=2


6
,求k的值;
(3)设点P的轨迹曲线为C,点Q(x0,y0)(x0≤1)是曲线C上的一点,求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围.
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f(x)=e-x2,则
lim
t→0
f(1-2t)-f(1)
t
=______.
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曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程是______.
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若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则ab=______.
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