讨论函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调性.

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讨论函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调性.
答案
由题意可得:f′(x)=
2
2x+3
+2x=
4x2+6x+2
2x+3
=
2(2x+1)(x+1)
2x+3

所以当-
3
2
<x<-1
时,f"(x)>0;
-1<x<-
1
2
时,f"(x)<0;
x>-
1
2
时,f"(x)>0.
从而,f(x)分别在区间(-
3
2
,-1)
(-
1
2
,+∞)
单调增加,在区间(-1,-
1
2
)
单调减少.
举一反三
已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线lP1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.当a=2时,已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的伴随切线l的方程;
(Ⅲ)设g(x)=
a+2e
x
   (a>0)
,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.
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若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而y=
f(x)
x
在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”.已知f(x)=x2+(cotθ-1)x+b(θ、b是常数,b>0).
(1)若f(x)是偶函数,求θ、b应满足的条件;
(2)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上是“弱增函数”,求实数b的范围.
(3)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上不是“弱增函数”,求实数b的范围.
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已知函数f(x)=
1
3
x3-x

(1)若不等式f(x)<k-2005对于x∈[-2,3]恒成立,求最小的正整数k;
(2)令函数g(x)=f(x)-
1
2
ax2+x(a≥2)
,求曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.
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已知f(x)=ax2-2lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设a>
1
e2
,g(x)=-5+ln
x
a
,存在x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,
(1)求f(x)的解析式;  
(2)求f(x)的单调区间.
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