设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2.(Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间
题型:辽宁难度:来源:
设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2. (Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若a>0,求b的取值范围. |
答案
f"(x)=3ax2+2bx-3a2.①(2分) (Ⅰ)当a=1时,f"(x)=3x2+2bx-3; 由题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3=0的两根,所以|x1-x2|=. 由|x1-x2|=2,得b=0.(4分) 从而f(x)=x2-3x+1,f"(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 当x∈(-1,1)时,f"(x)<0;当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f"(x)>0. 故f(x)在(-1,1)单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增.(6分) (Ⅱ)由①式及题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根, 所以|x1-x2|=.从而|x1-x2|=2⇔b2=9a2(1-a), 由上式及题设知0<a≤1.(8分) 考虑g(a)=9a2-9a3,g′(a)=18a-27a2=-27a(a-).(10分) 故g(a)在(0,)单调递增,在(,1)单调递减,从而g(a)在(0,1]的极大值为g()=. 又g(a)在(0,1]上只有一个极值,所以g()=为g(a)在(0,1]上的最大值,且最小值为g(1)=0.所以b2∈[0,],即b的取值范围为[-,].(14分) |
举一反三
讨论函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调性. |
已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R (Ⅰ)求函数f(x)的极值; (Ⅱ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.当a=2时,已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的伴随切线l的方程; (Ⅲ)设g(x)= (a>0),若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围. |
若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而y=在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”.已知f(x)=x2+(cotθ-1)x+b(θ、b是常数,b>0). (1)若f(x)是偶函数,求θ、b应满足的条件; (2)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上是“弱增函数”,求实数b的范围. (3)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上不是“弱增函数”,求实数b的范围. |
已知函数f(x)=x3-x. (1)若不等式f(x)<k-2005对于x∈[-2,3]恒成立,求最小的正整数k; (2)令函数g(x)=f(x)-ax2+x(a≥2),求曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. |
已知f(x)=ax2-2lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)设a>,g(x)=-5+ln,存在x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立,求a的取值范围. |
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