已知函数f(x)=2x+22x-1,x∈[0,+∞)(1)证明:函数在[0,12]上为单调减函数,在[12,+∞)上为单调增函数;(2) 若x∈[0,a],求f

已知函数f(x)=2x+22x-1,x∈[0,+∞)(1)证明:函数在[0,12]上为单调减函数,在[12,+∞)上为单调增函数;(2) 若x∈[0,a],求f

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=2x+
2
2x
-1
,x∈[0,+∞)
(1)证明:函数在[0,
1
2
]
上为单调减函数,在[
1
2
,+∞)
上为单调增函数;
(2) 若x∈[0,a],求f(x)的最大最小值.
答案
(1)设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=2x1+
2
2x1
-2x2-
2
2x2

=(2x1-2x2)
2x1+x2-2
2x1+x2

1
2
x1x2≥0
时,x1+x2<1,2x1+x2<2
2x1-2x2>0,2x1+x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[0,
1
2
]
上为单调减函数;
x1x2
1
2
时,x1+x2>1,2x1+x2>2
2x1-2x2>0,2x1+x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在[
1
2
,+∞)
上为单调增函数.得证;
(2)①当0<a≤
1
2
时,由(1)知函数f(x)在[0,a]上单调递减,
所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(a)=2a+21-a-1;
②当
1
2
<a≤1
时,由(1)知函数f(x)在[0,
1
2
]
上单调递减,
[
1
2
,a]
上单调递增,且f(0)=f(1),
所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(
1
2
)=2


2
-1

③当a>1时,由(1)知函数f(x)在[0,
1
2
]
上单调递减,
[
1
2
,a]
上单调递增,且f(0)=f(1),
所以f(x)max=f(a)=2a+21-a-1,f(x)min=f(
1
2
)=2


2
-1
举一反三
已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)当b>0时,求证:bb≥(
1
e
)
1
e
(其中e=2.718 28…是自然对数的底数);
(Ⅲ)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2.
(Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>0,求b的取值范围.
题型:辽宁难度:| 查看答案
讨论函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调性.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线lP1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.当a=2时,已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的伴随切线l的方程;
(Ⅲ)设g(x)=
a+2e
x
   (a>0)
,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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