解:(1)∵y′=lnx﹣1 令y′>0,则x>e ∴函数y=xg(x)﹣2x的单调增区间为(e,+∞) (2)当a=0时,f(x)=2x在[1,+∞)上是增函数, 当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为x=﹣ 由于y=f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴﹣ ≤1,解得a≤﹣2或a>0, ∴a>0 当a<0时,不符合题意, 综上,a的取值范围为a≥0 (3)方程 =f′(x)﹣(2a+1) 可化简为 =ax+2﹣(2a+1)即为方程ax2+(1﹣2a)x﹣lnx=0. 设H(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx,(x>0) 原方程在区间( ,e)内有且只有两个不相等的实数根, 即函数H(x)在区间( ,e)内有且只有两个零点. H′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = = 令H′(x)=0,因为a>0,解得x=1或x=﹣ (舍) 当x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)是减函数; 当x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,,H(x)是增函数., H(x)在( ,e)内有且只有两个不相等的零点, 只需 即1<a< |