设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a≠0；（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（1）≥e﹣1，求使f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立的实数a的值．

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设函数f（x）=a²lnx﹣x²+ax，a≠0；
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（1）≥e﹣1，求使f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立的实数a的值．（注：e为自然对数的底数）

答案

解：（Ⅰ）因为f（x）=a²lnx﹣x²+ax，其中x＞0，
所以f"（x）=﹣2x+a=﹣．
当a＞0时，由f"（x）＞0，得0＜x＜a，
∴f（x）的增区间为（0，a）；
当a＜0时，由f"（x）＞0，得，
∴f（x）的增区间为（0，﹣）；
（Ⅱ）由 f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e．①
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增，要使f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，
只要f（e）≤e²，
则 a²lne﹣e²+ae≤e²，
∴a²+ae﹣2e²≤0，
∴（a+2e）（a﹣e）≤0，
∴a≤e，②
综①②得a=e