已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令.(1)求g(x)的表达式;(2)若x>0使f(x)≤0成

已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令.(1)求g(x)的表达式;(2)若x>0使f(x)≤0成

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已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令
(1)求g(x)的表达式;
(2)若x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)﹣(m+1)x,证明:对x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)﹣H(x2)|<1.
答案
解:(1)设g(x)=ax2+bx+c,于是
g(x﹣1)+g(1﹣x)=2a(x﹣1)2+2c=2(x﹣1)2﹣2,
所以
又g(1)=﹣1,则
所以
(2)
当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;
当m=0时,
x>0,f(x)>0恒成立;
当m<0时,由
列表:



所以若x>0,f(x)>0恒成立,
则实数m的取值范围是(﹣e,0].
x>0使f(x)≤0成立,实数m的取值范围(﹣∞,﹣e]∪(0,+∞).
(3)因为对x∈[1,m],

所以H(x)在[1,m]内单调递减.
于是

,则

所以函数在(1,e]是单调增函数,
,故命题成立.
举一反三
若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2﹣4x+3,则函数f(x﹣1)的单调递减区间为(    )
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已知:三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(﹣∞,﹣1),(2,+∞)上单调增,在
(﹣1,2)上单调减,当且仅当x>4时,f(x)>x2﹣4x+5.
(1)求函数f (x)的解析式;
(2)若函数,求h(x)的单调区间
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已知函数f(x)=x2﹣(1+2a)x+alnx(a为常数).
(1)当a=﹣1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
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已知函数f(x)=exg(x),其中g(x)=ax2﹣2x﹣2.
(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)求函数y=f(|sinx|)的值域.
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如图,G为△ABC的重心,AD为BC边上的中线.过G的直线MN分别交边AB,AC于M,N两点.设,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的表达式及其定义域;
(2)设g(x)=x3+3a2x+2a(x∈[0,1]).若对任意的,总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
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