已知函数f(x)=x2﹣(1+2a)x+alnx(a为常数).(1)当a=﹣1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)
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已知函数f(x)=x2﹣(1+2a)x+alnx(a为常数).(1)当a=﹣1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)
题型:江苏期末题
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
2
﹣(1+2a)x+alnx(a为常数).
(1)当a=﹣1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
答案
解:(1)当a=﹣1时,f(x)=x
2
+x﹣lnx,
则
∴f(1)=2,f′(1)=2
∴曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为y﹣2=2(x﹣1)即y=2x;
(2)由题意得,
由f′(x)=0,得
①当
时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或
;
令f′(x)<0,x>0,可得
∴函数f(x)的单调增区间是(0,a)和
,单调减区间是
;
②当
时,
,当且仅当x=
时,f′(x)=0,
所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数;
③当
时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或a<x<1;
令f′(x)<0,x>0,可得
∴函数f(x)的单调增区间是(0,
)和(a,1),单调减区间是
;
④当a≥1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<
;
令f′(x)<0,x>0,可得
∴函数f(x)的单调增区间是(0,
),单调减区间是
.
举一反三
已知函数f(x)=e
x
g(x),其中g(x)=ax
2
﹣2x﹣2.
(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)求函数y=f(|sinx|)的值域.
题型:江苏月考题
难度:
|
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如图,G为△ABC的重心,AD为BC边上的中线.过G的直线MN分别交边AB,AC于M,N两点.设
,
,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的表达式及其定义域;
(2)设g(x)=x
3
+3a
2
x+2a(x∈[0,1]).若对任意的
,总存在x
2
∈[0,1],使得f(x
1
)=g(x
2
)成立,求实数a的取值范围.
题型:江苏期中题
难度:
|
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如图,G为△ABC的重心,AD为BC边上的中线.过G的直线MN分别交边AB,AC于M,N两点.设
,
,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的表达式及其定义域;
(2)设g(x)=x
3
+3a
2
x+2a(x∈[0,1]).若对任意的
,总存在x
2∈
[0,1],使得f(x
1
)=g(x
2
)成立,求实数a的取值范围.
题型:江苏期中题
难度:
|
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已知函数f(x)=xlnx,则函数f(x)的单调增区间是( )
题型:江苏期末题
难度:
|
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f(x)=x
2
+2(m﹣1)x+2在区间(﹣∞,4]上单调递减,则m的取值范围是( )。
题型:江苏月考题
难度:
|
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