已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b,(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:f(x)=
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已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b, (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)求证:f(x)=0还有不同于-b的实根x1、x2,且x1、-b、x2成等差数列; (Ⅲ)若函数f(x)的极大值小于16,求f(1)的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ), x=0是极大值点,, ∴c=0; (Ⅱ)令, 由f(x)的单调性知, ∵-b是方程f(x)=0的一个根, 则, , 方程的根的判别式, 又, 即-b不是方程的根, ∴f(x)=0有不同于-b的根, , ∴成等差数列。 (Ⅲ)根据函数的单调性可知,x=0是极大值点, , ∴, 令, 求导, , ∴上单调递减, ∴,即。 |
举一反三
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