已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:(n∈N*,
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已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:(n∈N*,
题型:四川省月考题
难度:
来源:
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
(n∈N*,且n>1)。
答案
解:(1)∵x>1,
,
1
o
当k≤0时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增;
2
o
当k>0时,f(x)在
递减;
(2)当k≤0时,
>0(x>1),
∴
不可能恒成立。
当k>0,由(1)可知
。
由
,
∴f(x)≤0恒成立时,k≥1。
(3)构造函数
(x>1),
<0,
∴F(x)在(1,+∞)递减,
∴F(x)<F(1),即
,
∴
;
当n>1,n∈N*时,
,
∴
。
举一反三
已知f(x)=
ax
2
+2x,g(x)=lnx,
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间;
(2)如果y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围;
(3)是否存在a>0,使方程
=f′(x)-(2a+1)在区间
内有且只有两个不相等的实数根,若存在求出a的取值范围,不存在说明理由。
题型:0108 期末题
难度:
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已知函数f(x)=ax-
-2lnx,f(1)=0,
(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且a
n+1
=
-na
n
+1,
①若a
1
≥3,求证:a
n
≥n+2;
②若a
1
=4,试比较
的大小,并说明你的理由。
题型:0117 期末题
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已知函数f(x)=
x
2
+(
a
2
+
a)lnx-2ax,
(1)当a=
时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)在f′(x)的单调区间上也是单调的,求实数a的范围。
题型:江苏期末题
难度:
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设函数f(x)=clnx+
x
2
+bx(b,c∈R,c≠0),且x=1为f(x)的极值点,
(Ⅰ)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示);
(Ⅱ)若f(x)=0恰有1解,求实数c的取值范围。
题型:浙江省期末题
难度:
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已知函数f(x)=x
3
-ax
2
-x+a,其中a为实数,
(1)求导数f′(x);
(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,3]上的最大值和最小值;
(3)若f(x)在(-∞,-2]和[3,+∞)上都是递增的,求a的取值范围。
题型:北京期末题
难度:
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