已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)
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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1, (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),, 当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调增加; 当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)单调减少; 当-1<a<0时,令f′(x)=0,解得, 则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0, 故f(x)在单调增加,在单调减少. (Ⅱ)不妨假设x1≥x2,而a<-1, 由(Ⅰ)知f(x)在(0,+∞)单调减少,从而, 等价于,① 令g(x)=f(x)+4x,则, ①等价于g(x)在(0,+∞)单调减少,即, 从而; 故a的取值范围为(-∞,-2]。 |
举一反三
已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中x∈R。 (1)设函数p(x)=f(x)+g(x)。若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围; (2)设函数,否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q"(x2)=q"(x1)成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由。 |
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x),如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a), (Ⅰ)设函数,其中b为实数, (ⅰ)求证:函数f(x)具有性质P(b); (ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α) -g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围。 |
已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R), (Ⅰ)当a≤时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R (1)讨论函数f(x)的单调区间; (2)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。 |
设函数f(x)=x-xlnx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an)。 (1)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数; (2)证明:an<an+1<1; (3)设b∈(a1,1),整数k≥。证明:ak+1>b。 |
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