设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x)。(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)

设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x)。(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)

题型:陕西省高考真题难度:来源:
设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x)。
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)讨论g(x)与g()的大小关系;
(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<,对任意x>0成立。
答案

解:(1)由题设知
,令0,得x=1
当x∈(0,1)时,<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间
当x∈(1,+∞)时,>0,故(1,+∞)是的单调递增区间,
因此,x=1是g(x)的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1;
(2)


当x=1时,
时,
因此内单调递减
时,

(3)由(1)知g(x)的最小值为1,
所以
对任意,成立

从而得

举一反三
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数,g(x)=f(x)+f′(x),
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与的大小关系;
(Ⅲ)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由。
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已知函数f(x)=4x3+3tx2-6tx+t-1,x∈R,其中t∈R,
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
题型:天津高考真题难度:| 查看答案
已知a>0,函数f(x)=lnx-ax2,x>0,(f(x)的图像连续不断)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明:存在x0∈(2,+∞),使
(Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明:
题型:天津高考真题难度:| 查看答案
已知函数
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值范围。
题型:北京高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x-k)ex
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值。
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